Задачка

Деспотичный диктатор держит в заключении на острове 100 человек. Сбежать оттуда невозможно, но есть одно правило. Ночью любой узник может попросить стражников об освобождении. Если у пленника голубые глаза, его отпустят. Если нет - скормят акулам.

На самом деле все 100 заключённых голубоглазые. Но они живут на острове с рождения, и диктатор постарался, чтобы никто не узнал цвет своих глаз. На острове нет зеркал, узники нигде не могут увидеть своё отражение. Все ёмкости для воды непрозрачные.

Пленники никак не могут общаться друг с другом. Им запрещено разговаривать, обмениваться жестами, писать сообщения на песке или иным способом коммуницировать. Но каждое утро они видятся на перекличке.

Островитяне логичны во всех своих действиях, поэтому никто из них не рискнёт просить об освобождении, если не будет абсолютно уверен в успехе.


Однажды диктатор влюбляется в девушку, которая всегда говорит правду. Он поддаётся на уговоры избранницы, разрешает ей посетить остров и поговорить с пленными. Но ставит такие условия: она может сделать только одно заявление и не должна сообщать узникам новую информацию.

Девушка знает о ситуации на острове и хочет помочь заключённым освободиться, но опасается навлечь на себя гнев диктатора. После долгих раздумий она сообщает толпе узников, которых вывели на перекличку: "По крайней мере у одного из вас голубые глаза".

После обращения возлюбленная диктатора покидает остров. Тот не сердится на неё. Ему кажется, что информация, которую она дала пленным, не опасна и сделанное заявление ничего не изменит. Жизнь на острове будто бы идёт своим чередом.

Однако через 100 дней после визита девушки остров оказывается пуст: все узники потребовали освобождения и навсегда его покинули. Порассуждайте, как же так вышло. Напоминаем: у всех жителей острова превосходная логика.

Ответ

Число островитян в данном случае не имеет значения. Чтобы упростить задачу, оставим только двух пленников - условных Андрея и Машу. Каждый из них видит узника с голубыми глазами, но знает, что этот голубоглазый может быть единственным.

В первую ночь они оба выжидают. Наутро они видят, что их товарищ по несчастью всё ещё здесь, и это даёт им подсказку. Андрей догадывается, что если его глаза не голубые, то Маша освободилась бы в первую ночь, поняв, что она единственный голубоглазый узник. Точно так же и Маша размышляет про Андрея. Они оба понимают следующее: "Если другой ждёт, мои глаза могут быть только голубыми". На следующее утро они оба покидают остров.

Теперь рассмотрим ситуацию, когда узников трое: Андрей, Маша и Борис. Каждый из них видит двух пленников с голубыми глазами, но не уверен, сколько голубоглазых видят остальные - двух или только одного. В первую ночь узники выжидают, но утро ясности пока что не приносит.

Борис рассуждает так: "Если мои глаза не голубые, Андрей и Маша наблюдают только друг за другом. Значит, следующей ночью они вместе покинут остров". Но на третье утро Борис видит, что они никуда не делись, и делает вывод, что пленники наблюдают за ним. Андрей и Маша мыслят точно так же, поэтому на третью ночь они все покидают остров.

Это называется индуктивной логикой. Можно увеличивать количество пленных, а рассуждения останутся верными и не будут зависеть от количества островитян. То есть если узников было бы четверо, то они покинули бы остров на четвёртую ночь, пятеро - на пятую, сто - на сотую.

Ключ к этой загадке - концепция общего знания. Это знание, которым обладает каждый член группы, и каждый член группы знает, что все остальные члены группы знают, и все знают, что все знают, что все знают, и так до бесконечности.

Таким образом, становится понятно, что новую информацию островитянам дало не само заявление девушки, а то, что все они услышали его одновременно. Теперь все узники не только знают, что по крайней мере один из них имеет голубые глаза, но и то, что каждый следит за всеми голубоглазыми, и что они все знают это, и так далее.

Единственное, чего каждый отдельно взятый узник не знает, - это то, относится ли он к голубоглазым, за которым наблюдают остальные. Он узнает это только тогда, когда пройдёт столько ночей, сколько заключённых на острове. Конечно, девушка могла избавить узников от 98 ночей на острове, сказав, что минимум 99 из них имеют голубые глаза. Но с непредсказуемым диктатором шутки плохи, и лучше так не рисковать.